1 第八章 应力状态分析

发布时间:2021-07-31 17:58:30

第八章

应力状态分析

已学内容回顾 内力 外力 结构
材料性能

应力
强度准则

变形

应变
1

第八章

应力状态分析

强度条件:保证结构或构件不致因强度不够而破坏的条件。 强度条件:保证结构或构件不致因强度不够而破坏的条件。 拉压杆强度条件: 拉压杆强度条件:

σmax= ?

?F ? N ? ≤[σ] ? A ?max

圆轴强度条件: 圆轴强度条件:

?T? τmax = ? ? ≤[τ ] ?W ? ? p ?max

梁的强度条件: 梁的强度条件: σ

m ax

? M? = ? ? ≤ [σ ] ?W ? ? z ?max

τmax = ? ?

? F Sz,max ? S ? ≤[τ ] ? ? Izδ ?max

建立强度条件的依据? 建立强度条件的依据?
2

第八章

应力状态分析

建立强度条件的依据? 建立强度条件的依据?
低碳钢 拉伸实验

材料基本实验
铸 铁

低碳钢和铸铁的拉伸与扭转实验

扭转实验

由对应实验建立强度条件 对应实验建立强度条件
3

第八章

应力状态分析

螺旋桨轴: 螺旋桨轴:
A
F M
微体A 微体

F

τ σ

采用拉伸强度条件、扭转强度条件,还是其它强度条件? 采用拉伸强度条件、扭转强度条件,还是其它强度条件?
4

第八章

应力状态分析

弯曲问题(工字梁) 弯曲问题(工字梁)
σ C ,max
d

σ1

τ1

a b c

τ max σ1
σ t ,max

C

z

a

τ max
σ1

O

τ max
τ1
y

τ

τ1

b c y

d

σ C ,max

σ t ,max

a 点处: 纯剪切;c , d 点处: 单向应力; 纯剪切; 单向应力; b 点处: σ ,τ 联合作用

复杂应力状态下( 复杂应力状态下(一般情况 下),如何建立强度条件 ?

分别满足 ? 对应实验的工作量与难度 ?
5

第八章

应力状态分析

针对每一种复杂应力状态进行对应实验是不可能的! 针对每一种复杂应力状态进行对应实验是不可能的! 建立复杂应力状态强度条件的研究思路: 建立复杂应力状态强度条件的研究思路: 材料物质点应力状况·应力微体 材料物质点应力状况 应力微体 材料失效机理(下一章) 材料失效机理(下一章) ?应力状态 应力状态 通过构件内一点, 通过构件内一点,所作各微截面的 应力状况, 应力状况,称为该点处的应力状态 σ ?应变状态 应变状态 构件内一点在各个不同方位的应 变状况, 变状况,称为该点处的应变状态
x

强度条件 y

τy y

σ

dx

dy
x

τx
dz

σ

x

z

σ
y

6

第八章

应力状态分析

第八章 应力应变状态分析
§ 8-1 § 8-2 § 8-3 § 8-4 引言 *面应力状态应力分析 应力圆 *面应力状态的极值应力与主应力 *面应力状态的极值应力与主应力

7

第八章

应力状态分析

§8-2 *面应力状态应力分析
y
τy σx σy
dx dy

什么是*面应力状态? 什么是*面应力状态?
σx

?微体有一对*行表面不受力的应力状态。 微体有一对*行表面不受力的应力状态。 微体有一对*行表面不受力的应力状态 由此推断

τx
dz

x

微体仅有四个面作用有应力; 微体仅有四个面作用有应力; 应力作用线均*行于不受力表面; 应力作用线均*行于不受力表面; *面应力状态的应力分析 问题: 问题:已知σx , σy, τx , τy, 求任 意*行于z 截面上的应力。 意*行于z轴的斜截面上的应力。 解决该问题的意义何在? 解决该问题的意义何在?
8

z

σy

y

dz

x

z

第八章

应力状态分析

应力分析的解析法:微体中取分离体*衡。 应力分析的解析法:微体中取分离体*衡。 y
σx σy τy σα
n

∑F =0
n

α

τα

τx

σx

σαdA+τxdA?cos(α)?sin(α) ?σxdA?cos(α)?cos(α) +τ ydA?sin(α)?cos(α) ?σydA?sin(α)?sin(α) = 0

∑F =0
t

t
σy σx τ x α
dA

x

ταdA?τxdA?cos(α)?cos(α) ?σxdA?cos(α)?sin(α) +τ ydA?sin(α)?sin(α) +σydA?sin(α)?cos(α) = 0
σα = σx +σy σx ?σy
+ 2 2 σx ?σy 2 cos(2 ) ?τx sin(2 ) α α

n

σα τα

τy σy

t

τα =

sin(2 ) +τx cos(2 ) α α

符号规定: 拉伸为正; 使微体顺时针转者为正 符号规定:σ—拉伸为正;τ—使微体顺时针转者为正 拉伸为正 轴为始边, α—以x轴为始边,指向沿逆时针转者为正 以 轴为始边
9

第八章

应力状态分析

应力转轴公式(斜截面上的应力公式) 应力转轴公式(斜截面上的应力公式)
σα =
τα =

σx +σ y σx ?σ y
+ 2

2 σx ?σ y 2

cos2 ?τ xsin2 α α

sin2 +τ xcos2 α α

应力转轴公式的意义? 应力转轴公式的意义? 应力转轴公式的适用范围? 应力转轴公式的适用范围?

上述关系式是建立在静力学基础上, 上述关系式是建立在静力学基础上,与材料性 质无关。换句话说, 质无关。换句话说,它既适用于各向同性与线 弹性情况,也适用于各向异性、 弹性情况,也适用于各向异性、非线弹性与非 弹性问题。 弹性问题。
10

第八章

应力状态分析

τ 例 求图示 σα, α Pa 已知 σx =80 M
Pa τ x = ?60M

σy =?30 M Pa

30

τα
o

60
80

α = 210o
2 cos2 ?τ xsin2α α

σα
30
单位:MPa 单位:

解: σα =
σα =

σx +σ y σ x ?σ y
2 +

80+( ?30) 80?( ?30) + cos60o ?(-60)sin60o =104.46M Pa 2 2

τα =

σx ?σ y
2
2

sin2α +τ xcos2 α
sin60o +( ?60) cos60o =8.35M Pa

τα =

80?( ?30)

α 还可取何值

轴向左) ( 轴向左 α = 30o x轴向左) α ± N×180o 不改变 σα τα

α =?150o;

11

第八章

应力状态分析

§8-3 应力圆
一、应力圆 应力转轴公式 σx +σ y σx ?σ y cos2 ?τ xsin2 σα = α α +

τα =

2 σx ?σ y 2

2

sin2 +τ xcos2 α α
α

在 σ ? τ *面上,σ *面上,

, τ α 的轨迹? 应力圆 的轨迹?

应力转轴公式形式变换 σx +σ y σx ?σ y σα ? cos2 ?τ xsin2 α α = 2 2 σx ?σ y τα ?0 = sin2 +τ xcos2 α α
2
12

第八章

应力状态分析

(σα ?

σx +σy
2

) +τα = (
2 2

σx ?σy
2

)2 +τx2

τ

σ—τ坐标系下的圆方程 τ 圆心坐标: 圆心坐标: 半径: 半径:


σx +σy
2
2

R

,0 ) o
)2 +τx2
(σx+ σy)/2

σ

R= (

σ x ?σ y

结论: 结论:*面应力状态下各方向的应力轨迹为一个圆 ——应力圆 应力圆
13

第八章 二、应力圆的绘制及应用 绘制方法1: 绘制方法 : 以 (
R= (
τ

应力状态分析

σx +σy
2
2

,0 )
)2 +τx2

为圆心, 为圆心,
o

R

σ x ?σ y

σ
(σx+ σy)/2

为半径作圆

缺点: 缺点: ?需用解析法计算圆心坐标和半径 需用解析法计算圆心坐标和半径 ?没有反映应力圆上的点与微体截面方位的对应关系 没有反映应力圆上的点与微体截面方位的对应关系

14

第八章 绘制方法2(实际采用) 绘制方法 (实际采用)
σy
y

应力状态分析

τ
D

τy
σα
τα

n

τx

σx

x

o
σy

τy Ε

C

τx
F

σ

(σx+σy)/2

(σx-σy)/2

?分析 分析

σx

面和y面的应力分别为 设x面和 面的应力分别为 D (σ x ,τ x ), E (σ y ,τ y ), 面和 由于τ x = ?τ y , 故DE中点坐标 C ( σ x + σ y , 0) 中点坐标 为圆心, 为直径 为直径。 为圆心,DE为直径。
2

15

第八章
σy
y

应力状态分析
Η (σα, τα)
D

τy

τ
n x

σΗ

σα
τα τx

σx

o
σy

τy Ε

C

2α τ 2α0 x F

τΗ

σ

?绘图:以ED为直径, 绘图: 为直径, 绘图 为直径 C为圆心作圆 为圆心作圆 ?α面应力: 考察 点应力 面应力: 考察H点应力
σx +σ y σx ?σ y
2 + 2

(σx+σy)/2

(σx-σy)/2

σx

σH =OC+CHcos(2 0 +2 ) =OC+CD α0cos2 ?CDsin2α0sin2α α α cos2 α
σH =
cos2 ?τ xsin2 =σα α α
16

同理: 同理: τ H =τα

第八章

应力状态分析

应力圆点与微体截面应力对应关系 点面对应:微体截面上的应力值与应力圆上点的 点面对应: 坐标值一一对应。 坐标值一一对应。

τ
σy τy

H(σ α , τ α )
C
τx σx

σα

α

σ

τα

17

第八章

应力状态分析

二倍角对应:应力圆半径转过的角度是微体截面方位角 二倍角对应: 变化的两倍,且二者转向相同。 变化的两倍,且二者转向相同。
σy

τ
τy
σα

n

H (σ α , τ α )

2α C

D(σ x , τ x )

α

σ

τα τ σ x x

微体互垂截面,对应应力圆同一直径两端 微体互垂截面, 微体*行对边, 对应应力圆 微体*行对边, 对应应力圆同一点 应力圆同一点

18

第八章 几种简单受力状态的应力圆
单向受力状态
σx τ
R=σx/2 o
C

应力状态分析

纯剪切受力状态
τy τx τ
R=τx

双向等拉
σ τ σ σ σ

σx

C

σ

o

σ

o

σ σ

σx/2

19

第八章 绘制应力圆两例
σB τB σA τA

应力状态分析

τ α
τ

τ

τ
(σA, τA)

(0, τ)

o o
(σB, τB)

σ

σ
2(π-α)

(0, τ)

20

第八章

应力状态分析

§8-4 *面应力状态的极值应力与主应力
一、*面应力状态的极值应力 K τ
D(σ x ,τ x )

σy

R
o B

α0

C

2α 0

τx
F
D′

σ
A

σmax

τy

σmin
τx

α0
σ max

σx

E (σ y ,τ y )
M (σ x + σ y ) 2 (σ x ? σ y ) 2

σmax

σmin

思考:如何从应力圆确定微体内最大与最小正应力? 思考:如何从应力圆确定微体内最大与最小正应力?最 大与最小切应力?微体内最大正应力与切应力方位? 大与最小切应力?微体内最大正应力与切应力方位?
21

第八章

应力状态分析

§8-4 *面应力状态的极值应力与主应力
一、*面应力状态的极值应力 K τ
D(σ x ,τ x )

σy

R
o B

α0

C

2α 0

τx
F
D′

σ
A

σmax

τy

σmin
τx

α0
σ max

σx

E (σ y ,τ y )
M (σ x + σ y ) 2 (σ x ? σ y ) 2

σmax

σmin
2

x tan α0 = ? 2 =? σx +σy σmax? ?σx ?σy ? 2 σx ?σy CF C ± ? ? =O ±CA= ? 2 ? +τ x ? σmin ? 2 ? ? 2 ′ FD τx τx τmax? ?σx ?σy ? 2 tanα0 = ? =? =? ? +τ x ? = ±CK = ± ? ? 2 ? σx ?σmin σmax ?σ y BF τmin ? ? ?

DF

2 τ

22

第八章

应力状态分析
K
D(σ x ,τ x )

思考: 思考: 对于*面应力: 对于*面应力: ?是否一定存在正应力为 是否一定存在正应力为 零的面? 零的面? ?是否一定存在切应力为 是否一定存在切应力为 零的面? 零的面? ?正应力最大与最小的面, 正应力最大与最小的面, 正应力最大与最小的面 切应力有什么性质? 切应力有什么性质?

τ

R
o B

α0

C

2α 0

τx
F

σ
A
D′

E (σ y ,τ y )

M (σ x + σ y ) 2 (σ x ? σ y ) 2

σ max

?切应力最大与最小的面, 切应力最大与最小的面, 切应力最大与最小的面 正应力有什么性质? 正应力有什么性质?
23

第八章

应力状态分析

二、主应力
σ2
σ1

主*面- 主*面-切应力为零的截面 主*面微体-相邻主*面相互垂直, 主*面微体-相邻主*面相互垂直, 构成一正六面形微体

σ3

主应力- 主应力-主*面上的正应力 主应力符号与规定- 主应力符号与规定- σ1 ≥σ2 ≥σ3(按代数值排列) 按代数值排列)

24

第八章 应力状态分类: 应力状态分类:

应力状态分析

单向应力状态: 单向应力状态:仅一个主应力不为零的应力状态 二向应力状态: 二向应力状态:两个主应力不为零的应力状态 三向应力状态: 三向应力状态:三个主应力均不为零的应力状态 复杂应力状态: 复杂应力状态: 二向与三向应力状态

三、纯剪切状态的最大应力
σC,max
45o
D

τ A 0,τ
(

)
C

σt,m =σC =τ ax

τ

o

?45

σ

σc,m = σD =τ ax
σ1 = ?σ3 =τ , σ2 = 0
τm = ? m =τ τ in ax
25

o

σt ,max

B( 0, ? ) τ

第八章

应力状态分析

例:纯剪应力状态下不同的断裂现象推测 的作用面: 塑性材料圆轴扭转时滑移与剪断发生在τmax的作用面:

脆性材料圆轴扭转时断裂发生在 的作用面: 脆性材料圆轴扭转时断裂发生在σmax 的作用面:

26

第八章

应力状态分析

例 试用解析法与图解法确定主应力的大小和方向
50

解:1.解析法 解析法

σx =?10 M Pa

σy = 50 M Pa

10
30 3

τx =30 3M Pa=51.96M Pa
单位: 单位:MPa
2 2 σmax σx +σy ?σx ?σy ? 80M Pa ?10+50 ? ?10?50? 2 = ± ? ± ? ? +τx = ? + 30 3 = ?40M σmin Pa 2 2 ? 2 ? ? 2 ? 2

(

)

27

第八章

应力状态分析
50

例 试用解析法与图解法确定主应力的大小和方向 1.解析法 续) 解析法(续 解析法

σ max=80MPa

σ min= ? 40MPa
2α0 = 60o ?120o

σ3
10
30 3

2x τ tan2α0 =? = 3 σx ?σy

σ1

问题:哪一个解是正确的? 问题:哪一个解是正确的? 根据对应切应力所指方向可判断 又解: 又解:

α0 =?60o

σ1的方向
α0 =?60o

τx τx tanα0 =? =? =? 3 σx ?σmin σmax ?σy

试比较两个求 α0的公式
28

第八章 2.图解法 图解法 (1)在 σ ?τ 坐标系画上 )

应力状态分析

τ
D
2α0

D( ?10,51.96) , E( 50, ?51.96)
两点,联结 , 两点,联结DE,以DE为直径作应力圆 为直径作应力圆 两点坐标, (2)量A、B两点坐标,BD’的方位角得 ) 、 两点坐标 的方位角得
B

σ
A E

C

σ1=80M Pa

σ3=- Pa 40M

α0 =?60o

29

第八章

应力状态分析

30

第八章

应力状态分析

作业: , 旧书) 作业:7-2, 7-4,7-5(旧书) , 8-2, 8-4,8-5(新书) , 新书) ,

31

第八章

应力状态分析

谢谢
32


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